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试题 时间:2017-08-04 我要投稿
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  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.  1.在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为( )  A.6 B.7 C.8 D.9  解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴a7=6.  答案:A  2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是( )  A.12 B.1 C.2 D.3  解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选C.  答案:C  3.已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 011等于( )  A.1 B.-4 C.4 D.5  解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…  故{an}是以6为周期的数列,  ∴a2 011=a6×335+1=a1=1.  答案:A  4.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )  A.d<0 B.a7=0  C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值  解析:∵S5<S6,∴a6>0.S6=S7,∴a7=0.  又S7>S8,∴a8<0.  假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0.  ∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<0.假设不成立,故S9<S5.∴C错误.  答案:C  5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为( )  A.-12 B.12  C.1或-12 D.-2或12[  解析:设首项为a1,公比为q,  则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意.  当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3a1q2,  ∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,  解得q=1(舍去),或q=-12.  综上,q=1,或q=-12.  答案:C  6.若数列{an}的通项公式an=5 252n-2-425n-1,数列{an}的最大项为第x项,最小项为第y项,则x+y等于( )  A.3 B.4 C.5 D.6  解析:an=5252n-2-425n-1=525n-1-252-45,  ∴n=2时,an最小;n=1时,an最大.  此时x=1,y=2,∴x+y=3.  答案:A  7.数列{an}中,a1 =15,3an+1= 3an-2(n∈N *),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )  A.a21a22 B.a22a23 C.a23a24 D.a24a25  解析:∵3an+1=3an-2,  ∴an+1-an=-23,即公差d=-23.  ∴an=a1+(n-1)d=15-23(n-1).  令an>0,即15-23(n-1)>0,解得n<23.5.  又n∈N*,∴n≤23,∴a23>0,而a24<0,∴a23a24<0.  答案:C  8.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为( )  A.1.14a B.1.15a  C.11×(1.15-1)a D.10×(1.16-1)a  解析:由已知,得每年产值构成等比数列a1=a,w  an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).  ∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.  答案:C  9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7a14的最大值为( )  A.25 B.50 C.1 00 D.不存在  解析:由S20=100,得a1+a20=10. ∴a7+a14=10.  又a7>0,a14>0,∴a7a14≤a7+a1422=25.  答案:A  10.设数列{an}是首项为m,公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,对任意的n∈N*,点an,S2nSn( )  A.在直线mx+qy-q=0上  B.在直线qx-my+m=0上  C.在直线qx+my-q=0上  D.不一定在一条直线上  解析:an=mqn-1=x, ①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y, ②  由②得qn=y-1,代入①得x=mq(y-1), 即qx-my+m=0.  答案:B  11.将以2为首项的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),…,第n组有n个数,则第n组的首项为( )  A.n2-n B.n2+n+2  C.n2+n D.n2-n+2  解析:因为前n-1组占用了数列2,4,6,…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项,所以第n组的首项为数列2,4,6,…的第(n-1)n2+1项,等于2+(n-1)n2+1-12=n2-n+2.  答案:D  12.设m∈N*,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1 024)的值是( )  A.8 204 B.8 192  C.9 218 D.以上都不对  解析:依题意,F(1)=0,  F(2)=F(3)=1,有2 个  F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有22个.  F(8)=…=F(15)=3,有23个.  F(16)=…=F(31)=4,有24个.  …  F(512)=…=F(1 023)=9,有29个.  F(1 024)=10,有1个.  故F(1)+F(2)+…+F(1 024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.  令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29,①  则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②  ①-②,得-T=2+22+23+…+29-9×210 =  2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2,  ∴T=8×210+2=8 194, m]  ∴F(1)+F(2)+…+F(1 024)=8 194+10=8 204.  答案:A  第Ⅱ卷 (非选择 共90分)  二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分 ,共20分.  13.若数列{an} 满足关系a1=2,an+1=3an+2,该数 列的通项公式为__________.  解析:∵an+1=3an+2两边加上1得,an+1+1=3(an+1),  ∴{an+1}是以a1+1=3为首项,以3为公比的等比数列,  ∴an+1=33n-1=3n,∴an=3n-1.  答案:an=3n-1  14.已知公差不为零的等差数列{an}中,M=anan+3,N=an+1an+2,则M与N的大小关系是__________.  解析:设{an}的公差为d,则d≠0.  M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]  =an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0,∴M<N.  答案:M<N  15.在数列{an}中,a1=6,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y=6上,则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.  解析:∵点(an,an-1)在直线x-y=6上,  ∴an-an-1=6,即数列{an}为等差数列.  ∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n,  ∴an=6n2.  ∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1  ∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.  答案:6nn+1  16.观察下表:  1  2 3 4  3 4 5 6 7  4 5 6 7 8 9 10  …  则第__________行的各数之和等于2 0092.  解析:设第n行的各数之和等于2 0092,  则此行是一个首项a1=n,项数为2n-1,公差为1的等差数列.  故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=2 0092, 解得n=1 005.  答案:1 005  三、解答题:本大题共6小题,共70分.  17.(10分)已知数列{an}中,a1=12,an+1=12an+1(n∈N*),令bn=an-2.  (1)求证:{bn}是等比数列,并求bn;  (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.  解析:(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12,  ∴{bn}是等比数列.  ∵b1=a1-2=-32,  ∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.  (2)an=bn+2=-32n+2,  Sn=a1+a2+…+an  =-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2  =-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.  18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.  (1)求{an}的通项公式;  (2)若数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=anbnn,求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.  解析:(1)由题意Sn=2n,  得Sn-1=2n-1(n≥2),  两式相减,得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).  当n=1时,21-1=1≠S1=a1=2.  ∴an=2 (n=1),2n-1 (n≥2).  (2)∵bn+1=bn+(2n-1),  ∴b2-b1=1,  b3-b2=3,  b4-b3=5,  …  bn-bn-1=2n-3.  以上各式相加,得  bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)  =(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.  ∵b1=-1,∴bn=n2-2n,  ∴cn=-2 (n=1),(n-2)×2n-1 (n≥2),  ∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,  ∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.  ∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n  =2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n  =2n-2-(n-2)×2n  =-2-(n-3)×2n.  ∴Tn=2+(n-3)×2n.  19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.  (1)求数列{an}的通项公式;  (2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式.  解析:(1)依题意,得  3a1+3×22d+5a1+5×42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.  ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,  即an=2n+1.  (2)由已知,得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1,  ∴Tn=b1+b2+…+bn  =(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)  =4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.  20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且ban-2n=(b-1)Sn.  (1)证明:当b=2时,{an-n2n-1}是等比数列;  (2)求通项an. 新 课 标 第 一 网  解析:由题意知,a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,  ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,  两式相减,得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,  即an+1=ban+2n.①  (1)当b=2时,由①知,an+1=2an+2n.  于是an+1-(n+1)2n=2an+2n-(n+1)2n  =2an-n2n-1.  又a1- 120=1≠0,  ∴{an-n2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列.  (2)当b=2时,  由(1)知,an-n2n-1=2n-1,即an=(n+1)2n-1  当b≠2时,由①得  an +1-12-b2n+1=ban+2n-12-b2n+1=ban-b2-b2n  =ban-12-b2n,  因此an+1-12-b2n+1=ban-12-b2n=2(1-b)2-bbn.  得an=2, n=1,12-b[2n+(2-2b)bn-1], n≥2.  21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24小时内完成第二道防线,请说明理由.  解析:设从现有这辆车投入工作算起,各车的工作时间依次组成数列{an},则an-an-1=-13.  所以各车的工作时间构成首项为24,公差为-13的等差数列,由题知,24小时内最多可抽调72辆车.  设还需组织(n-1)辆车,则  a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.  所以n2-145n+3 000≤0,  解得25≤n≤120,且n≤73.  所以nmin=25,n-1=24.  故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证在24小时内完成第二道防线.  22.(12分)已知点集L={(x,y)|y=mn},其中m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),点列Pn(an,bn)在点集L中,P1为L的轨迹与y轴的交点,已知数列{an}为等差数列,且公差为1,n∈N*.  (1)求数列{an},{bn}的通项公式;  (3)设cn=5nan|PnPn+1|(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn的值.  解析:(1)由y=mn,m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),  得y=2x+1,即L:y=2x+1.  ∵P1为L的轨迹与y轴的交点,  ∴P1(0,1),则a1=0,b1=1.  ∵数列{an}为等差数列,且公差为1,  ∴an=n-1(n∈N*) .  代入y=2x+1,得bn=2n-1(n∈N*).  (2)∵Pn(n-1,2n-1),∴Pn+1(n,2n+1).  =5n2-n-1=5n-1102-2120.  ∵n∈N*,  (3)当n≥2时,Pn(n-1,2n-1),  ∴c2+c3+…+cn  =1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.
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